1. Enoncé de Pythagore.
Si le triangle ABC est rectangle en A
alors BC2=AB2+AC2.
Démonstration
2. Exemples d’utilisation de l’énoncé de
Pythagore.
On connaît 2 côtés du triangle rectangle, il permet de calculer la longueur du troisième côté.
Exemple 1:
i) Le triangle ALI est rectangle en A.
ii) Son hypoténuse est [IL].
iii) L’énoncé de Pythagore permet d’écrire :
IL² = AI² + AL²
iv) D’après les données, on a:
AI=12 et AL=9
donc IL² = 144+81 = 225
donc IL = 15 cm
Exemple 2:
i) Le triangle MNP est rectangle en P.
ii) Son hypoténuse est [MN].
iii) L’énoncé de Pythagore permet d’écrire :
MN² = MP² + PN²
iv) D’après les données, on a:
MN=6,5 et MP=3,3
donc 6,5² = 3,3²+PN²
donc 42,25 = 10,89+PN²
on a PN² = 42,25-10,89 = 31,36
donc PN = 5,6 cm
3.
Réciproque de l’énoncé de Pythagore.
Si le triangle ABC est tel que BC2=AB2+AC2,
alors il est
rectangle en A.
4. Méthode : Savoir si un rectangle est rectangle ou non.
On donne les longueurs des 3 côtés d’un triangle ABC, le triangle est-il rectangle ?
i) On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur.
ii) On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
iii) S’il y a égalité, la réciproque permet d’affirmer que le triangle est rectangle. S’il y a inégalité, le triangle n’est pas rectangle par conséquence du
théorème de Pythagore.
5. Exemples rédigés : Les triangles suivants sont-ils
rectangles ?
Exemple 1:
i) [BC] est le plus grand côté.
ii) On calcule BC2=7,3² = 53,29.
On calcule AB2+AC2 = 4,8²+5,5² =
53,29
iii) On compare : on a l’égalité BC²=AB²+AC²
d’après la réciproque de
l’énoncé de Pythagore,
le triangle ABC est rectangle en A.
Exemple 2:
i) [ST] est le plus grand côté.
ii) On calcule ST2=7² =
49.
On calcule RS2+RT2 = 4²+6² = 52
iii) On compare : on a ST² différent de RS²+RT²
d'après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle RST n’est pas rectangle.
Mr Deléens
