IMPORTANT! A LIRE AVANT DE POSTER!
Merci aux élèves de respecter ces quelques règles quand ils utilisent la fonction "ajouter un commentaire" pour répondre à un article publié par un professeur:
1. Toujours signer son commentaire par son prénom et sa
classe: il est plus sympathique de savoir à qui on s'adresse;
2. Ne pas utiliser de langage SMS ou MSN mais essayer de rédiger
les commentaires dans un français correct;
3. Ne pas insérer de lien ou faire des commentaires
"douteux" qui iraient à l'encontre de l'état d'esprit de respect qui doit régner sur ce blog.
En cas de manquements à ces 3 règles élémentaires, les commentaires seront modérés et/ou effacés.
Bien lire la charte du blog (bientôt disponible) pour savoir ce que l'on encourt au point de vue pénal en cas de commentaires ou articles qui iraient à l'encontre de la législation en
vigueur.
M. Perron.
1. Sphères et
boules.
a)
Définitions
La boule de centre O
et de rayon R est l’ensemble
des points M tels que OM £ R. (Exemple : une
orange)
La sphère de centre O
et de rayon R est l’ensemble
des points M tels que OM = R. (Exemple : la peau d’une orange)
La distance OB est inférieure au rayon R (OB < R). B est
donc dans la boule, mais pas sur la sphère.
La distance OC est supérieure au rayon R (OC > R). C n’est
donc ni sur la sphère, si sur la boule.
b) Aire de la sphère (Exemple : surface de la peau d’une orange)
A = 4 p r ²
Exemple :
Le rayon de la Terre est environ 6370 km.
La surface terrestre est donc : A = 4 x p x 6370² = 509 904 364 km²
2. Section d’une sphère par un plan.
La section d’une sphère
par un plan est un cercle. (Pensez à un couteau qui coupe une balle de ping pong)
Cas particuliers :
a) Si OH = 0, alors r = R (C'est-à-dire si votre couteau coupe la balle de ping pong exactement en
2)
Le plan passe par le centre de la sphère.
La section est un GRAND
CERCLE.
b) Si OH = R, alors r = 0 (C'est-à-dire si votre couteau « touche » la balle sans la
couper)
Le plan et la sphère ont un seul point commun.
On dit que le plan est tangent à la sphère.
Cette animation explique les différents cas de figure.
Exercices interactifs.
A suivre…
M. Deléens
1. Fonction affine – fonction linéaire – fonction constante.
Définitions : a et b étant deux nombres fixés
f(x) = ax + b f est
appelée fonction affine
g(x) = ax g est appelée fonction linéaire
h(x) = b h est appelée fonction constante.
Propriété : Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0.
Propriété : Une fonction constante est une fonction affine où a = 0.
Exemples :
f(x) = 4x + 40 f est une fonction affine. Son coefficient directeur est 4.
g(x) = 8x g est une fonction linéaire (donc affine également). Son coefficient directeur est 8.
h(x) = 92 h est une fonction constante (donc affine également). Son coefficient directeur est toujours 0.
Calculons f(6), g(6), h(6) : On remplace x par 6 dans chaque formule.
f(6) = 4 x 6 + 40
f(6) = 64
On dit que l’image de 6 par f est 64. Le point de coordonnées (6 ;64) est sur la courbe représentative de f.
g(6) = 8 x 6
g(6) = 48
On dit que l’image de 6 par g est 48. Le point de coordonnées (6 ;48) est sur la courbe représentative de g.
h(6) = 92 (il n’y a pas de x à remplacer !)
On dit que l’image de 6 par h est 92. Le point de coordonnées (6 ;92) est sur la courbe représentative de g.
2. Représentation graphique.
Propriétés :
1) Toute fonction affine est représentée par une droite.
2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine.
3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l’axe des abscisses.
Pour tracer une droite, il suffit de connaître 2 points. Grâce au calcul du 1., on en connaît déjà un pour chaque droite. On choisit donc une autre valeur pour x, par exemple 11 :
f(11) = 84 donc (11 ;84) est sur la courbe représentative de f.
g(11) = 88 donc (11 ;88) est sur la courbe représentative de g.
h(11) = 92 donc (11 ;92) est sur
la courbe représentative de h.
Cette animation montre comment évolue la représentation graphique d'une fonction selon le coefficient directeur (le "a") et
l'ordonnée à l'origine (le "b"). Celle-ci montre comment reconnaître une fonction affine, et celle-ci nous montre comment construire la représentation graphique d'une fonction
affine.
A suivre ...
M. Deléens.
1. Enoncé de Thalès.
L'énoncé est valable pour ces 3 configurations.
Soit ABC et AMN 2 triangles tels que:
M є (AB)
N є (AC)
(MN) // (BC)
Alors, d'après le théorème de Thalès : 
2. Exemple rédigé.
Réponse :
V є (IJ)
U є (IK)
(UV) // (JK)
D'après le théorème de Thalès :
donc:
le produit en croix donne :
IV = 10x30:20
IV = 15
Exercices en ligne
Exercices Flash (avec solutions)
Cliquez sur l'image pour savoir comment Thalès a mesuré sa pyramide.
3. Réciproque.
L'énoncé est valable pour ces 3
configurations.
Soit ABC et AMN 2 triangles tels que:
A,M,B et A,N,C soient alignés dans cet ordre
Si
Alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès:
(MN)//(BC)
M. Deléens
Le 24 mai 2000, le Clay Mathematics Institute (CMI) présenta au Collège de France sept problèmes majeurs des mathématiques.
Chacun était doté d’un prix d’un million de dollars pour celui qui arriverait à les
résoudre !
1) Egalité de deux fractions :
Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre alors on obtient la
même fraction.
2) Addition et soustraction de deux ou de plusieurs fractions :
On réduit les fractions au même dénominateur (si ce n’est pas déjà le cas) puis on ajoute ou on soustrait les numérateurs obtenus et enfin, on
simplifie la fraction si c’est possible.
3) Multiplication de deux ou plusieurs fractions :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exercices corrigés
Exercices et explications en ligne
M. Deléens.
Thalès de Milet
(Milet, 624 av. JC - 547 av. JC)
Thalès est le premier mathématicien dont l'histoire ait retenu le nom. Il est né à Milet, en Asie
mineure, sur les côtes méditerranéennes de l'actuelle Turquie, vers 624 av JC. Il convient toutefois d'être prudent avec ces dates, et avec la vie et les découvertes de Thalès. Il ne reste en
effet pas d'écrits de Thalès, et s'il est souvent cité dans d'autres textes, il était d'usage à cette époque d'attribuer à des hommes célèbres des découvertes qu'ils n'avaient pas faites.
Plus qu'un simple mathématicien, Thalès était un savant universel, curieux de tout, astronome et philosophe, très observateur. Il fut à ce titre un des Sept Sages. On ne démontrait pas ce qu'on avançait à l'époque de Thalès, on ne faisait que remarquer certaines propriétés. Mais la façon qu'avait Thalès de réfléchir, d'analyser des situations, d'en rechercher les causes font de lui le précurseur des scientifiques. Une de ses grandes interrogations était l'eau, et les causes de la pluie. Il avait remarqué que l'air se transformait en pluie, et il en cherchait désespérément les réponses.
Marchand de profession, Thalès entreprit de nombreux voyages en Crête, en Egypte, en Asie. Comme certains lui reprochaient le peu d'intérêt pratique de ses observations scientifiques, il remarqua à la sortie d'un hiver très rigoureux que la récolte d'olive s'annonçait prometteuse, il acheta tous les moulins à huile de la région, puis les loua à prix d'or aux producteurs.
Mais le fait d'armes de Thalès est sans conteste la prévision d'une éclipse du soleil, probablement celle du 8 mai 585 avant notre ère. Les Lydiens allaient batailler contre les Mèdes afin de se partager l'Anatolie. Voici ce qu'Hérédote raconte :
"...Soudain le jour devint nuit. Cet événement avait été prédit par Thalès, le Milésien, qui avait mis en garde les Ioniens, donnant précisément l'année de l'éclipse. Les Medes et les Lydiens cessèrent leur combat dès qu'ils observèrent le changement, et furent de suite anxieux d'établir les termes de la paix."
Thalès aurait appris ses connaissances en géométrie de ses voyages en Egypte. Il impressionna les prêtres à Memphis en leur donnant un procédé pour calculer la hauteur de leur pyramide. Il planta sa canne verticalement, et comme il avait de la chance, la longueur de l'ombre de sa canne était exactement égale à sa hauteur, et il en déduisit qu'il devait en être de même pour le pyramides. Ce n'est qu'au XIXème s., en France, qu'on appellera de Thalès le théorème qui affirme que des droites parallèles découpent sur deux droites des segment proportionnels. Ce n'est que 3 siècles plus tard, dans ses Eléments, qu'Euclide donnera la première démonstration. En Allemagne, on appelle théorème de Thalès celui qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle et ayant pour côté un diamètre est rectangle, et réciproquement.
Thalès fonda une école à Milet, où il transmit ses enseignements et eut de nombreux élèves, comme Anaximandre, Anaximène, Anaxagore et Héraclite... Le buste que
vous pouvez voir en haut de cette page se trouve au musée du Capitole à Rome, mais il n'est pas contemporain à Thalès, et il est peu probable qu'il représente effectivement Thalès.
Plus d'informations: fr.wikipedia.org/wiki/Thal%C3%A8s_de_Milet
M. Deléens
Ces liens vous permettront de découvrir 3 des plus belles et des plus célèbres démonstrations de mathématiques:
Le Théorème de Pythagore, démontré par Euclide
(!)
Le Théorème de Thalès, démontré également par Euclide
(!!)
Le calcul de l'aire d'un disque, démontré par Archimède (l'homme qui criait "Eurêka, Eurêka!" en courant tout nu dans les rues de
Syracuse, je vous en reparlerai.)
M. Deléens
1. Définitions.
La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par le milieu de
[AB].
Les 3 médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes. C'est à dire qu'elles se coupent en un même point, appelé
centre du cercle circonscrit du triangle. Ce cercle est l'unique cercle qui passe par les 3 sommets du triangle.
2. Construction du cercle circonscrit à un triangle.
Voir l'animation.
3. Propriétés.
Dans le cas d'un
triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit se situe au
milieu de l'hypoténuse.
Réciproquement, si les 3 sommets d'un triangle se situent sur un cercle, et si l'un des côtés de ce triangle est un diamètre
de ce cercle, alors le triangle est rectangle.
M. Deléens
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Pythagore
Philosophe, mathématicien, |
Pythagore est une des figures les plus mystérieuses de la Grèce antique. N'ayant jamais rien rédigé, son enseignement n'est connu que par les écrits de ses disciples et par
la tradition orale. Il semble qu'il soit devenu très tôt une légende. On le dit fils d'Apollon ou d'Hermès, dont il a reçu le pouvoir de garder les souvenirs de ses vies passées. Pythagore
restera une énigme pour Aristote qui évitera le plus souvent de prononcer son nom. Il n'en reste pas moins que l'existence du philosophe est un fait certain.
Fils de Mnésarque, Pythagore passe son enfance sur l'île de Samos et a probablement Anaximandre et Phérécyde pour maîtres. Plus tard, il entreprend des voyages d'étude qui
le mènent en Perse, en Gaule, en Crète, en Egypte. A quarante ans, revenu à Samos, il trouve son pays sous la domination de Polycrate et le quitte pour l'Italie. A Crotone, colonie grecque
d'Italie du sud, il fonde une école qui ne tarde pas à prendre une ampleur telle qu'elle attire un nombre considérable de disciples. Ils forment alors autour du maître une confraternité dont le
but est d'abord mystique puis politique et où règnent de nombreux tabous sur les vêtements, les aliments, les relations sociales. Suite à une insurrection populaire, Pythagore mourra lors de
l'incendie de l'Ecole.
Les pythagoriciens croient à la toute puissance du nombre qui régit l'univers. C'est de cette croyance que découlent les multiples recherches mathématiques réalisées par
l'école de Pythagore. Les travaux portent sur les nombres pairs et impairs, les nombres premiers et carrés. En géométrie, la plus célèbre découverte est le théorème de l'hypoténuse ou théorème de
Pythagore, qui établit que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est la somme des carrés des deux autres côtés. En astronomie, les pythagoriciens sont les premiers à considérer la
Terre comme une sphère en révolution, avec d'autres planètes, autour d'un feu central.
Si la "science" pythagoricienne ne peut être séparée des buts mystico-politiques de l'école, elle n'en reste pas moins un témoignage des premiers pas
de la pensée rationnelle qui se développera en Grèce.
Plus d'informations: fr.wikipedia.org/wiki/Pythagore
1. Enoncé de Pythagore.
Si le triangle ABC est rectangle en A
alors BC2=AB2+AC2.
Démonstration
2. Exemples d’utilisation de l’énoncé de
Pythagore.
On connaît 2 côtés du triangle rectangle, il permet de calculer la longueur du troisième côté.
Exemple 1:
i) Le triangle ALI est rectangle en A.
ii) Son hypoténuse est [IL].
iii) L’énoncé de Pythagore permet d’écrire :
IL² = AI² + AL²
iv) D’après les données, on a:
AI=12 et AL=9
donc IL² = 144+81 = 225
donc IL = 15 cm
Exemple 2:
i) Le triangle MNP est rectangle en P.
ii) Son hypoténuse est [MN].
iii) L’énoncé de Pythagore permet d’écrire :
MN² = MP² + PN²
iv) D’après les données, on a:
MN=6,5 et MP=3,3
donc 6,5² = 3,3²+PN²
donc 42,25 = 10,89+PN²
on a PN² = 42,25-10,89 = 31,36
donc PN = 5,6 cm
3.
Réciproque de l’énoncé de Pythagore.
Si le triangle ABC est tel que BC2=AB2+AC2,
alors il est
rectangle en A.
4. Méthode : Savoir si un rectangle est rectangle ou non.
On donne les longueurs des 3 côtés d’un triangle ABC, le triangle est-il rectangle ?
i) On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur.
ii) On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
iii) S’il y a égalité, la réciproque permet d’affirmer que le triangle est rectangle. S’il y a inégalité, le triangle n’est pas rectangle par conséquence du théorème de Pythagore.
5. Exemples rédigés : Les triangles suivants sont-ils
rectangles ?
Exemple 1:
i) [BC] est le plus grand côté.
ii) On calcule BC2=7,3² = 53,29.
On calcule AB2+AC2 = 4,8²+5,5² =
53,29
iii) On compare : on a l’égalité BC²=AB²+AC²
d’après la réciproque de
l’énoncé de Pythagore,
le triangle ABC est rectangle en A.
Exemple 2:
i) [ST] est le plus grand côté.
ii) On calcule ST2=7² =
49.
On calcule RS2+RT2 = 4²+6² = 52
iii) On compare : on a ST² différent de RS²+RT²
d'après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle RST n’est pas rectangle.
Mr Deléens
